Elips

Persamaan Elips

Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan berjari-jari r memiliki persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Dengan membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan r2, kita akan memperoleh

Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.

Pusat dari grafik persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusiy = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)2 = 9, sehingga diperoleh y = –5 dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari suatu elips.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncakelips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

• Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.
• Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.

Dari pengamatan kita di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut.

Bentuk Standar dari Persamaan Elips
Diberikan persamaan,

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.

Matriks

Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemenatau anggota matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu

Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalamtransformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam3 dimensi.

Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.